卷临天下2023全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学)第十四单元

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17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的点P到直线x-2y+7=0的距离最大时，点P的坐标是（　　）

试题答案

分析 利用椭圆的参数方程可以设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），（0≤θ＜2π），利用三角函数的辅助角公式，结合余弦函数的值域，即可得到最大值及对应的P的坐标．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
设m=2cosθ，n=$\sqrt{3}$sinθ，（0≤θ＜2π），
则点p（m，n）到直线l：x-2y+7=0的距离
d=$\frac{|2cosθ-2\sqrt{3}sinθ+7|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{3}）+7|}{\sqrt{5}}$，
∴当cos（θ+$\frac{π}{3}$）=1时，d有最大值为$\frac{11\sqrt{5}}{5}$，
此时由θ+$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z，可得θ=2kπ-$\frac{π}{3}$，
可得2cosθ=1，$\sqrt{3}$sinθ=-$\frac{3}{2}$，
即为P（1，-$\frac{3}{2}$）．
故选：D．

点评 本题主要考查椭圆的参数方程及距离公式，考查三角函数的变换求最值的方法，属于中档题．